极限

考虑到高中对导数的知识架构一塌糊涂，在这里引入极限的概念以便严格化导数的定义．

数列极限的定义

数列 \(\{a_n\}\) 的极限是 \(L\)，记作 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L\)，如果对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，恒有 \(|a_n - L| < \varepsilon\)．

特别地，如果数列 \(\{a_n\}\) 的极限是正无穷，记作 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty\)，如果对于任意 \(M > 0\)，存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，恒有 \(a_n > M\)；如果数列 \(\{a_n\}\) 的极限是负无穷，记作 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -\infty\)，如果对于任意 \(M < 0\)，存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，恒有 \(a_n < M\)．

数学上，先定义数列极限，再定义函数极限．由于前者是离散的，因此相关定理证明较简单，从而可以为后者的相关定理证明做辅助．

函数极限的定义

函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的极限是 \(L\)，记作 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L\)，如果对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在一个 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，恒有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)．

特别地，如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的极限是 \(+\infty\)，记作 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty\)，如果对于任意 \(M > 0\)，存在一个 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，恒有 \(f(x) > M\)；如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的极限是 \(-\infty\)，记作 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty\)，如果对于任意 \(M < 0\)，存在一个 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，恒有 \(f(x) < M\)．

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特别地，函数 \(f(x)\) 在 \(+\infty\) 处的极限是 \(L\)，记作 \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L\)，如果对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在一个 \(M > 0\)，使得当 \(x > M\) 时，恒有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)．

特别地，如果函数 \(f(x)\) 在 \(+\infty\) 处的极限是 \(+\infty\)，记作 \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)，如果对于任意 \(M > 0\)，存在一个 \(N > 0\)，使得当 \(x > N\) 时，恒有 \(f(x) > M\)；如果函数 \(f(x)\) 在 \(+\infty\) 处的极限是 \(-\infty\)，记作 \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)，如果对于任意 \(M < 0\)，存在一个 \(N > 0\)，使得当 \(x > N\) 时，恒有 \(f(x) < M\)．

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特别地，函数 \(f(x)\) 在 \(-\infty\) 处的极限是 \(L\)，记作 \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = L\)，如果对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在一个 \(M < 0\)，使得当 \(x < M\) 时，恒有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)．

特别地，如果函数 \(f(x)\) 在 \(-\infty\) 处的极限是 \(+\infty\)，记作 \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\)，如果对于任意 \(M > 0\)，存在一个 \(N < 0\)，使得当 \(x < N\) 时，恒有 \(f(x) > M\)；如果函数 \(f(x)\) 在 \(-\infty\) 处的极限是 \(-\infty\)，记作 \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)，如果对于任意 \(M < 0\)，存在一个 \(N < 0\)，使得当 \(x < N\) 时，恒有 \(f(x) < M\)．

对于函数极限的定义，有些版本会强调在 \(x_0\) 附近有定义，或者说在 \(x_0\) 的去心邻域 \(\mathring U(x_0)\) 中有定义，但个人认为是不必要的，因为 \(\lvert x-x_0\rvert < \delta\) 事实上暗示了函数在该点附近有定义（这里隐含了一个全称量词）．