杂题选做

积分练习

Problem 1

空间中一小球质量为 \(m\)，电荷量为 \(q(q\gt 0)\)，受重力影响下落，重力加速度为 \(g\)．

空间中还有磁场方向沿水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度为 \(B\)，求小球运动方式．

高中常规做法

将速度进行矢量分解，分出一个速度提供与重力等大反向的洛伦兹力，则另一个速度符合匀速圆周运动规律．

积分做法

不熟悉物理的求导符号，使用数学符号代替．

首先建立右手直角坐标系，令 \(y\) 轴正方向沿重力方向，\(z\) 轴正方向沿磁场方向．

则有

\[ \left\{ \begin{aligned} a_x = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v_{x} &= \dfrac{qv_{y}B}{m}, \\ a_y = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v_{y} &= g - \dfrac{qv_{x}B}{m}; \end{aligned} \right. \]

对第二个式子求导，将 \(g\) 消去，

\[ \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}v_{y} = -\dfrac{qB}{m}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v_{x} = -\dfrac{q^2B^2}{m^2}v_{y}. \]

熟知

\[ \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}y=Ay \]

时，有

\[ y = C_{1}e^{\sqrt{A}x} + C_{2}e^{-\sqrt{A}x}. \]

因此

\[ v_y = v_{1}e^{\frac{iqBt}{m}} + v_{2}e^{\frac{-iqBt}{m}}, \]

这里 \(i\) 是虚数单位．

由于 \(t=0\) 时 \(v_y=0\)，因此 \(v_1=v_2\)，进一步，由欧拉公式，可以将 \(v_y\) 表示为

\[ v_y = v_0\sin\left(\dfrac{qBt}{m}\right). \]

代入 \(a_y\) 的表达式，得

\[ \begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(v_0\sin\left(\dfrac{qBt}{m}\right)\right) &= g - \dfrac{qv_{x}B}{m}, \\ \dfrac{qBv_0}{m}\cdot\cos\left(\dfrac{qBt}{m}\right) &= g - \dfrac{qv_{x}B}{m}, \\ \dfrac{qv_{x}B}{m} &= g - \dfrac{qBv_0}{m}\cdot\cos\left(\dfrac{qBt}{m}\right), \\ v_{x} &= \dfrac{mg}{qB} - v_0\cdot\cos\left(\dfrac{qBt}{m}\right). \end{aligned} \]

又 \(t=0\) 时 \(v_x=0\)，因此 \(v_0=\dfrac{mg}{qB}\)，总之，

\[ \left\{ \begin{aligned} v_{x} &= \dfrac{mg}{qB}\left(1-\cos\left(\dfrac{qBt}{m}\right)\right), \\ v_y &= \dfrac{mg}{qB}\sin\left(\dfrac{qBt}{m}\right). \end{aligned} \right. \]

取小球初始位置为原点，积分得

\[ \left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{mgt}{qB} - \dfrac{m^2g}{q^2B^2}\sin\left(\dfrac{qBt}{m}\right), \\ y &= \dfrac{m^2g}{q^2B^2}\left(1-\cos\dfrac{qBt}{m}\right). \end{aligned} \right. \]