杂题选做
数列
Problem 1
Problem
有正项数列 \(\left\{a_n\right\}\)，\(S_n\) 是其前 \(n\) 项和，满足
\[
S_n=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{1}{a_n}\right),
\]
求数列通项．
方法 1
注意到
\[
a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1},
\]
数学归纳易证．
方法 2
由 \(S_n,a_n\) 关系，
\[
S_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(S_{n+1}-S_{n}+\dfrac{1}{S_{n+1}-S_{n}}\right);
\]
整理得
\[
S_{n+1}^2-S_{n}^2=1;
\]
又
\[
S_1=a_1=\dfrac{1}{2}\left(a_1+\dfrac{1}{a_1}\right);
\]
解得 \(S_1=a_1=1\)，则 \(S_1^2=1\)．
因此，
\[
S_n^2=n;
\]
由于数列各项为正，
\[
S_n=\sqrt{n};
\]
所以（\(n\geqslant 2\) 时）
\[
a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}.
\]
检验发现 \(n=1\) 时式子仍成立．