欧拉第二积分

欧拉第二积分定义为

\[ \begin{aligned} \Gamma\left(a\right) &= \int_{0}^{\infty}x^{a-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}x^{a-1}\mathrm{d}\left(-\mathrm{e}^{-x}\right) \\ &= \left.-x^{a-1}\mathrm{e}^{-x}\right|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x^{a-1} \\ &= \left[a=1\right] + \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}\dfrac{\mathrm{d}x^{a-1}}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x \\ &= \left[a=1\right] + \left(a-1\right)\cdot\int_{0}^{\infty}x^{a-2}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x \\ &= \left[a=1\right] + \left(a-1\right)\cdot\Gamma\left(a-1\right) \\ \end{aligned} \]

取 \(a=1\)，有 \(\Gamma\left(1\right)=1\)，则对于正整数 \(n\) 有 \(\Gamma\left(n\right)=\left(n-1\right)!\)

因此 \(n! = \Gamma\left(n+1\right)\) 是阶乘的一种解析延拓方式，此时阶乘的定义域为除负整数以外的全体复数。