广义垂径定理（第三定义）

在圆中，熟知垂径定理．

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．

常用的两条推论是：

• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧．
• 弦的垂直平分线是直径，且平分弦所对的两条弧．
• 直径所对的圆周角是直角．

第三条可以利用三角形中位线的性质证明．

在椭圆和双曲线中，存在类似的结论．

广义垂径定理

对于标准方程

\[ \dfrac{x^2}{a^2}\pm\dfrac{y^2}{b^2}=1 \]

描述的圆锥曲线 \(\Gamma\) 中，设不经过原点的直线与 \(\Gamma\) 交于 \(A,B\) 两点，\(M\) 为 \(AB\) 中点，且 \(AB,OM\) 斜率存在，则

\[ \tag{1} k_{AB}\cdot k_{OM} = \mp\dfrac{b^2}{a^2} = e^2-1. \]

下面证明该定理．

设 \(A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)\) 是 \(\Gamma\) 上不同的两点，即

\[ \begin{cases} \dfrac{x_1^2}{a^2}\pm\dfrac{y_1^2}{b^2}=1, \\ \dfrac{x_2^2}{a^2}\pm\dfrac{y_2^2}{b^2}=1. \end{cases} \]

两式作差，有

\[ \begin{align*} \dfrac{x_1^2-x_2^2}{a^2}\pm\dfrac{y_1^2-y^2}{b^2} &= 0, \\ \dfrac{x_1^2-x_2^2}{a^2} &= \mp\dfrac{y_1^2-y^2}{b^2}, \\ \dfrac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}{a^2} &= \mp\dfrac{\left(y_1-y_2\right)\left(y_1+y_2\right)}{b^2}, \\ \dfrac{\left(y_1-y_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)}\cdot\dfrac{\left(y_1+y_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)} &= \mp\dfrac{b^2}{a^2}, \\ k_{AB}\cdot k_{OM} &= \mp\dfrac{b^2}{a^2} = e^2-1. \end{align*} \]

需要指出，上述推导对双曲线的渐近线方程仍然成立．

这引出的一条推论是，设直线 \(\alpha\) 与双曲线交于 \(P,Q\) 两点，与两条渐近线交于 \(S,T\) 两点，则线段 \(PQ,ST\) 共中点，或 \(PS=QT\)．

应用三角形的中位线性质，广义垂径定理的另一条推论是：设过原点的直线交 \(\Gamma\) 于 \(A,B\) 两点，\(P\) 为 \(\Gamma\) 上与 \(A,B\) 不同的一点，若 \(AP,BP\) 斜率均存在，则

\[ \tag{2} k_{AP}\cdot k_{BP} = e^2-1. \]

因此，部分人将这一性质作为圆锥曲线的第三定义，即在平面直角坐标系中，与两定点斜率之积为定值的点的轨迹是圆锥曲线的一部分．

加粗的部分是这一定义的两个缺陷，另两个缺陷是这一定义只能作出对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线，以及对于抛物线没有良好描述．

\(\small x^2+xy+y^2=36\)

\(\small x^2-xy-y^2=4\)

广义垂径定理常被用于转化题中斜率相关定值．