焦半径公式（第二定义）
椭圆
焦半径公式
标准方程（第一定义）中 \(\mathrm{(4)}\) 式指出，
\[
\left\vert PF_1\right\vert=\sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = a+\dfrac{cx}{a}.
\]
同理可得 \(\left\vert PF_2\right\vert\) 的表达式，即
\[
\tag{1} \begin{cases}
\left\vert PF_1\right\vert=\sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = a+\dfrac{cx}{a}=a+ex; \\
\left\vert PF_2\right\vert=\sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2} = a-\dfrac{cx}{a}=a-ex.
\end{cases}
\]
\(\mathrm{(1)}\) 式即为椭圆的焦半径公式．
第二定义
以 \(\left\vert PF_1\right\vert=a+ex\) 为例，可以注意到这是一个仅与 \(x\) 有关的函数，我们考虑在等式两侧同时除以 \(e\)，把等式右侧做成点到直线距离的形式，即
\[
\begin{align*}
\left\vert PF_1\right\vert &= a+ex, \\
\dfrac{\left\vert PF_1\right\vert}{e} &= \dfrac{a^2}{c}+x, \\
\tag{2} e &= \dfrac{\left\vert PF_1\right\vert}{x-\left(-\dfrac{a^2}{c}\right)}. \\
\end{align*}
\]
同理有
\[
\tag{3} e = \dfrac{\left\vert PF_2\right\vert}{x-\dfrac{a^2}{c}}.
\]
\(\mathrm{(2)},\mathrm{(3)}\) 构成了椭圆的第二定义，即，平面内到定点距离与到定直线距离之比为定值 \(e(0\lt e\lt 1)\) 的点的轨迹叫做椭圆．
这个定值 \(e\) 叫做椭圆的离心率，定点与定直线是椭圆对应的焦点和准线．
左焦点对应的准线叫做左准线，右焦点对应的准线叫做右准线．
焦点到对应准线的距离叫做焦准距，一般记作 \(p\)，在椭圆中，准线在焦点外侧，因此
\[
\tag{4} p = \dfrac{a^2}{c}-c = \dfrac{b^2}{c}.
\]
双曲线
焦半径公式
根据标准方程（第一定义）中 \(\mathrm{(10)}\) 式，与椭圆类似，可得
\[
\tag{8} \begin{cases}
\left\vert PF_1\right\vert=\sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \left\vert a+\dfrac{cx}{a}\right\vert=\left\vert a+ex\right\vert; \\
\left\vert PF_2\right\vert=\sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2} = \left\vert a-\dfrac{cx}{a}\right\vert=\left\vert a-ex\right\vert.
\end{cases}
\]
第二定义
与椭圆类似，故不重复推导过程．
\[
\tag{9}\begin{cases}
\dfrac{\left\vert PF_1\right\vert}{\left\vert x+\dfrac{a^2}{c}\right\vert} &= e,\\
\dfrac{\left\vert PF_2\right\vert}{\left\vert x-\dfrac{a^2}{c}\right\vert} &= e.
\end{cases}
\]
因此双曲线的第二定义为，平面内到定点距离与到定直线距离之比为定值 \(e(e\gt 1)\) 的点的轨迹叫做双曲线．
这个定值 \(e\) 叫做椭圆的离心率，定点与定直线是双曲线对应的焦点和准线．
双曲线的准线在焦点内侧．
双曲线中仍然有
\[
p = \dfrac{b^2}{c}.
\]