调和点列与极点极线

调和点列

若直线上不同的 \(A,B,C,D\) 四点满足

\[ \tag{1} \dfrac{AC}{CB} = \dfrac{AD}{DB}, \]

则称 \(A,B,C,D\) 为调和点列，或说 \(C,D\) 调和分割线段 \(AB\)．

由于 \(C,D\) 一点在线段 \(AB\) 上，一点在线段 \(AB\) 外（否则重合），称在 \(AB\) 上的为内分点，在 \(AB\) 外的为外分点．

注意此时亦有

\[ \tag{2} \dfrac{CB}{BD} = \dfrac{CA}{AD}, \]

因此也说 \(A,B\) 调和分割线段 \(CD\)．

对于线段 \(AB\) 及其中点 \(C\)，若希望在直线 \(AB\) 上选取一点 \(C\) 使得 \(A,B,C,D\) 构成调和点列，则有

\[ \dfrac{x_{D}-x_{B}}{x_{D}-x_{A}} = 1. \]

这在普通的欧式几何中是不可能的，但在射影几何中，我们取 \(D\) 在这条直线的无穷远处，有

\[ \lim_{x_{D}\to\infty}\dfrac{x_{D}-x_{B}}{x_{D}-x_{A}} = 1. \]

请注意这里写 \(x_{D}\to\infty\)，而不在 \(\infty\) 前加正号或符号，因为无穷原点不在 \(AB\) 的左侧或右侧，它只是在这条线的无穷远处．

在射影几何中，两条平行线交于无穷远处，因此也可以将无穷远点理解为直线的“方向”．

全体无穷远点构成无穷远直线．

若 \(A,B,C,D\) 成调和点列，\(O\) 为 \(ABCD\) 外一点，则称 \(OA,OB,OC,OD\) 为调和线束．

任取直线 \(l\) 分别交 \(OA,OB,OC,OD\) 于 \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime},D^{\prime}\)，则 \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime},D^{\prime}\) 也构成调和点列．

一个比较简洁的方法是通过三角形面积公式将 \(\mathrm{(1)}\) 转化为

\[ \tag{3} \dfrac{\sin\angle AOC}{\sin\angle COB} = \dfrac{\sin\angle AOD}{\sin\angle DOB}, \]

两个常用推论：

定理在 \(A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime},D^{\prime}\) 有无穷远点时也成立，此时另外三个点中有一个点时另两个的中点；
若 \(OA,OB,OC,OD\) 中有一条射线平分了另外三条射线中其中两条构成的角，则这条平分线与剩下的一条射线构成直角（阿氏圆）．

两两相交且任意三线不共点的四条直线构成完全四边形．

如上图，\(ABC,BDE,CDF,AFE\) 四条直线两两交于 \(A,B,C,D,E,F\) 六点，故 \(ABCDEF\) 构成完全四边形．

完全四边形有三条对角线，如上图，\(AD,BF,CE\) 为三条对角线．

完全四边形的任意两条对角线所在直线调和分割另外一条．

下证 \(I,H\) 调和分割 \(CE\)．

在 \(\triangle ACE\) 中，由梅涅劳斯定理，

\[ \tag{4} \dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{CI}{IE}\cdot\dfrac{EF}{FA} = 1; \]

由塞瓦定理，

\[ \tag{5} \dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{CH}{HE}\cdot\dfrac{EF}{FA} = 1; \]

两式对比，得

\[ \tag{6} \dfrac{CI}{IE} = \dfrac{CH}{HE}. \]

剩余两对调和点列同理得证．

另外，由于调和线束的性质，如果再连一些边，可以形成更多调和点列．