焦点三角形

在椭圆或双曲线中，由焦点 \(F_1,F_2\) 和曲线上一点 \(P\) 作为顶点构成的三角形，叫做焦点三角形，并记 \(\theta=\angle F_1PF_2\)，\(I\) 为三角形内心，\(r=\left\vert y_{I}\right\vert\) 为三角形内接圆半径．

周长

在椭圆中，明显有

\[ \tag{26} C_{\triangle F_1F_2P} = 2a + 2c. \]

面积

椭圆中有常用的几种表示方法：

\[ \tag{27} S_{\triangle F_1F_2P} = c\left\vert y_{P}\right\vert = b^2\tan\dfrac{\theta}{2} = \left(a+c\right)r = \left(a+c\right)\left\vert y_{I}\right\vert; \]

双曲线中由于周长不定，没有后两种形式：

\[ \tag{28} S_{\triangle F_1F_2P} = c\left\vert y_{P}\right\vert = b^2\cot\dfrac{\theta}{2}. \]

内心和旁心运动轨迹

ellipse-focal-triangle — *椭圆中的焦点三角形以及内心和旁心*

hyperbola-focal-triangle — *双曲线中的焦点三角形以及内心和旁心*

结论是，对于椭圆，内心和 \(F_1F_2\) 对应的旁心的轨迹是椭圆；其余两个旁心的轨迹是直线．

对于双曲线（假设 \(P\) 只在一支上运动），内心和 \(F_1F_2\) 对应的旁心轨迹是直线的一部分；其余两个旁心的轨迹是两个离心率不等的双曲线的一支．

同时可以从图中看到，上述轨迹中的直线均与曲线的左顶点或右顶点相切．

这些结论可以使用三角形的内心坐标公式验证．

下面以椭圆内心为例展示推导过程．

设椭圆方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a\gt b\gt 0\right)\)，则 \(F_1\left(-c,0\right),F_2\left(c,0\right),P\left(x_0,y_0\right)\)，并且记 \(d_1=\left\vert PF_1\right\vert,d_2=\left\vert PF_2\right\vert\)．

根据内心坐标公式，有

\[ \begin{aligned} x_I &= \dfrac{-cd_2+cd_1+2cx_0}{d_1+d_2+2c}, \\ y_I &= \dfrac{2cy_0}{d_1+d_2+2c}. \end{aligned} \]

其中 \(d_1+d_2\) 根据椭圆定义为 \(2a\)，又

\[ \begin{aligned} \left(d_1-d_2\right)\left(d_1+d_2\right) &= d_1^2-d_2^2 \\ &= \left(x_0+c\right)^2-\left(x_0-c\right)^2 \\ &= 4cx_0, \end{aligned} \]

因此 \(d_1-d_2=\dfrac{2cx_0}{a}\)，代入内心坐标，有

\[ \begin{aligned} x_I &= \dfrac{-cd_2+cd_1+2cx_0}{d_1+d_2+2c} \\ &= \dfrac{\frac{2c^2x_0}{a}+2cx_0}{2\left(a+c\right)} \\ &= \dfrac{2c^2x_0+2acx_0}{2a\left(a+c\right)} \\ &= \dfrac{2cx_0\left(c+a\right)}{2a\left(a+c\right)} \\ &= \dfrac{cx_0}{a}, \\ y_I &= \dfrac{2cy_0}{d_1+d_2+2c} \\ &= \dfrac{2cy_0}{2a+2c} \\ &= \dfrac{cy_0}{a+c}. \\ \end{aligned} \]

即 \(I\left(\dfrac{cx_0}{a},\dfrac{cy_0}{a+c}\right)\)，故其轨迹方程为 \(\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{bc}{a+c}\right)^2}=1\)．