标准方程（第一定义）

椭圆

平面内与两个定点 \(F_1,F_2\) 距离之和等于常数 \(2a\left(2a\gt\left\vert F_1 F_2 \right\vert\right)\) 的点的轨迹称为椭圆．

即，椭圆上一点 \(P\) 满足

\[ \left\vert PF_1\right\vert + \left\vert PF_2\right\vert = 2a. \]

其中 \(F_1,F_2\) 为椭圆的焦点，\(2c=\left\vert F_1 F_2\right\vert\) 为椭圆的焦距．并且可以证明，\(2a\) 为椭圆的长轴．

为什么要有系数 2？

这是为了简化标准方程的形式．

以过椭圆两焦点 \(F_1 F_2\) 的直线为 \(x\) 轴，线段 \(F_1 F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系．

设椭圆上任意一点为 \(P\left(x,y\right)\)，\(F_1\left(-c,0\right)\) 为椭圆的左焦点，\(F_2\left(c,0\right)\) 为椭圆的右焦点，根据椭圆定义，有

\[ \tag{1} \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} + \sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2} = 2a. \]

课本上的化简方法是两次移项后平方，这里给出一个更巧妙的做法．

由于

\[ \tag{2} \left[\left(x+c\right)^2+y^2\right]-\left[\left(x-c\right)^2+y^2\right]=4cx, \]

有

\[ \tag{3} \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} - \sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2} = \dfrac{4cx}{2a} = \dfrac{2cx}{a}. \]

\(\mathrm{(1)}+\mathrm{(3)}\) 得

\[ \begin{align*} \tag{4} \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} &= a+\dfrac{cx}{a}, \\ x^2+2cx+c^2+y^2 &= a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}, \\ \tag{5} \dfrac{\left(a^2-c^2\right)x^2}{a^2}+y^2 &= a^2-c^2. \end{align*} \]

令 \(b^2=a^2-c^2\) 并代入 \(\mathrm{(5)}\) 式，得

\[ \begin{align*} \dfrac{b^2x^2}{a^2}+y^2 &= b^2, \\ \tag{6} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} &= 1. \end{align*} \]

请注意 \(a\gt b\gt 0\)．

Note

当长轴在 \(y\) 轴上时，椭圆的方程变为

\[ \tag{7} \dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2} = 1. \]

这时，容易得到（长轴在 \(x\) 轴上的）椭圆的一些几何性质：

椭圆上任意一点 \(\left(x,y\right)\) 满足 \(x\in\left[-a,a\right]\)，\(y\in\left[-b,b\right]\)；
\(A_1\left(-a,0\right),A_2\left(a,0\right)\) 分别为椭圆的左顶点和右顶点；
\(B_1\left(0,-b\right),B_2\left(0,b\right)\) 分别为椭圆的上顶点和下顶点；
\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别被称作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 \(2a\) 和 \(2b\)；
\(x\) 轴和 \(y\) 轴是椭圆的对称轴；
原点是椭圆的对称中心．

如果固定半长轴 \(a\)，改变半焦距 \(c(0\lt c\lt a)\) 的长度，可以发现，\(c\) 越接近 \(a\)，椭圆越“扁平”；\(c\) 越接近 \(0\)，椭圆越接近正圆．当然，如果同时将 \(a,c\) 放大或缩小相同倍数，作出的椭圆是相似图形．

因此，可以使用比值 \(\dfrac{c}{a}\) 衡量椭圆的“扁平程度”，并记 \(e=\dfrac{c}{a}\) 为椭圆的离心率．

对于椭圆，\(e\in\left(0,1\right)\)（一般不认为圆是椭圆）．

为什么使用 \(c/a\) 而非 \(b/a\) 或其他比值？

这与圆锥曲线的统一定义（第二定义）有关，后文将提到．

双曲线

平面内与两个定点 \(F_1,F_2\) 的距离之差的绝对值等于常数 \(2a(0\lt 2a\lt \left\vert F_1 F_2\right\vert)\) 的点的轨迹称为双曲线．

即，双曲线上一点 \(P\) 满足

\[ \left\vert\left\vert PF_1\right\vert-\left\vert PF_2\right\vert\right\vert = 2a. \]

其中 \(F_1,F_2\) 为双曲线的焦点，\(2c=\left\vert F_1 F_2\right\vert\) 为双曲线的焦距．

使用与椭圆类似的建系方法，令左焦点为 \(F_1\left(-c,0\right)\)，右焦点为 \(F_2\left(c,0\right)\)，\(P\left(x,y\right)\) 为椭圆上任意一点，根据双曲线的定义，有

\[ \tag{8} \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} - \sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2} = \pm 2a. \]

类似椭圆的推导过程，有

\[ \tag{9} \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} + \sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2} = \pm\dfrac{2cx}{a}. \]

两式相加

\[ \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \pm\left(a+\dfrac{cx}{a}\right), \]

即

\[ \tag{10} \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \left\vert a+\dfrac{cx}{a}\right\vert. \]

两侧平方，得

\[ \begin{align*} x^2+2cx+c^2+y^2 &= a^2+2cx+\dfrac{c^2x^2}{a^2}, \\ \tag{11} \dfrac{\left(c^2-a^2\right)x^2}{a^2}-y^2 &= c^2-a^2. \\ \end{align*} \]

令 \(b^2=c^2-a^2\) 并代入 \(\mathrm{(11)}\)，得

\[ \begin{align*} \dfrac{b^2x^2}{a^2}-y^2 &= b^2, \\ \tag{12} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} &= 1. \end{align*} \]

与椭圆不同，这里 \(a,b\) 没有大小关系，但仍注明 \(a\gt 0,b\gt 0\)．

Note

假如将 \(\mathrm{(5)}\) 式与 \(\mathrm{(11)}\) 对比，可以发现它们实际上是相同的，但是 \(a,c\) 的大小关系改变了．

Note

当实轴在 \(y\) 轴上时，椭圆的方程变为

\[ \tag{13} \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2} = 1. \]

这时，容易得到（实轴在 \(x\) 轴上的）双曲线的一些几何性质：

双曲线上任意一点 \(\left(x,y\right)\) 满足 \(x\in\left(-\infty,-a\right]\cup\left[a,+\infty\right)\)，\(y\in\mathbb{R}\)；
\(A_1\left(-a,0\right),A_2\left(a,0\right)\) 分别为双曲线的左顶点和右顶点；
与椭圆不同，双曲线没有上顶点或下顶点，但仍然记 \(B_1\left(0,-b\right),B_2\left(0,b\right)\)；
\(A_1A_2\) 和 \(B_1B_2\) 分别被称作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 \(2a\) 和 \(2b\)；
\(x\) 轴和 \(y\) 轴是双曲线的对称轴；
原点是双曲线的对称中心；
\(\dfrac{x}{a}\pm\dfrac{y}{b} = 0\) 是双曲线的两条渐近线．

Note

渐近线在某些时候可以看作退化的双曲线，这是因为其方程

\[ \tag{14} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 0 \]

可以使用与双曲线类似的方法处理．

仍然记 \(e=\dfrac{c}{a}\) 为双曲线的离心率，这里 \(e\in\left(1,+\infty\right)\)，刻画双曲线的张口大小，离心率越大，张口越大．

若双曲线的离心率为 \(\sqrt{2}\)，则其实轴与虚轴等长，称这种双曲线为等轴双曲线．

假设两双曲线的实轴与虚轴是对换的，称这它们为共轭双曲线．

共轭双曲线的渐近线相同；\(4\) 个焦点共圆；离心率的平方倒数和为 \(1\)．