F(a, S) = 0 类数列通项

未完成

在数列通项的求解中，一类题目给定方程 \(F\left(a, S\right)=0\)（可能附加其他条件），求数列的通项．

通常，这类题目可以通过差分将 \(S\) 消去，得到 \(a\) 的递推关系（一般为一阶或二阶）；少部分将 \(a\) 换为 \(S\) 的差分，得到 \(S\) 的递推关系．

本文收集一些有代表性的例题．

Problem 1

Problem

有正项数列 \(\left\{a_n\right\}\)，\(S_n\) 是其前 \(n\) 项和，满足

\[ S_n=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{1}{a_n}\right) \]

求数列通项．

方法 1

注意到

\[ a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1} \]

数学归纳易证．

方法 2

由 \(S_n,a_n\) 关系，

\[ S_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(S_{n+1}-S_{n}+\dfrac{1}{S_{n+1}-S_{n}}\right) \]

整理得

\[ S_{n+1}^2-S_{n}^2=1 \]

又

\[ S_1=a_1=\dfrac{1}{2}\left(a_1+\dfrac{1}{a_1}\right) \]

解得 \(S_1=a_1=1\)，则 \(S_1^2=1\)．

因此，

\[ S_n^2=n \]

由于数列各项为正，

\[ S_n=\sqrt{n} \]

所以（\(n\geqslant 2\) 时）

\[ a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1} \]

检验发现 \(n=1\) 时式子仍成立．